Najteži tip zadatka na FON prijemnom: iracionalna nejednačina sa X ispred korena

Na FON prijemnom se skoro svake godine pojavi jedan tip zadatka koji razdvaja kandidate koji su "prošli zbirku" od onih koji su je zaista razumeli. Iracionalne nejednačine oblika $x\sqrt{f(x)}>g(x)$

Izgledaju bezazleno. Prvi korak svako uradi. A onda većina skrene s puta.

Evo konkretnog zadatka sa prijemnog iz 2023. godine:

Razlika najvećeg i najmanjeg rešenja nejednačine

jednaka je:

A) $\frac{14}{3}$

B) $\frac{2}{3}$

C) $\frac{11}{3}$

D) $\frac{5}{3}$

E) $\frac{8}{3}$

Ako si probao/la sam/a, probaj još jednom pre nego što nastaviš. Ako si dobio/la odgovor na prvi pogled, skoro sigurno si upao/la u zamku.

Gde većina pada

Tipična greška nije u računu. Greška je u jednom potezu koji se uradi pre bilo kakvog računa.

Kandidat vidi koren, vidi kvadrat na desnoj strani i automatski kvadrira obe strane. Ili, još češće, deli obe strane sa $x$ da skrati izraz, ne razmišljajući šta se dešava kad je $x$ negativno.

Oba poteza su ista greška: rade s nejednakošću kao da je jednakost.

Za nejednakosti važe dodatna pravila:

• Kvadriranje je ispravno samo kad su obe strane istog znaka.
• Deljenje negativnim brojem menja smer nejednakosti.

Ako ova dva pravila preskočiš, rešenje ti izgleda tačno, ali ti nedostaje ceo jedan slučaj ili ti se uvuče lažno rešenje.

Evo kako se zadatak rešava čisto, u pet koraka.

Korak 1: Odredi domen

Pod korenom sme biti samo ne-negativan broj:

Faktorizacija:

Rešenje:

Van ovog domena ceo izraz nema smisla. To znači da od samog starta moraš razmatrati dva razdvojena intervala.

Korak 2: Uoči strukturu desne strane

Desna strana se faktoriše:

Leva strana ima $x$ ispred korena, desna ima $x$ kao faktor. To nije slučajno. To ti govori da zadatak želi da ga razdvojiš po znaku od $x$.

Nejednačina postaje:

Korak 3: Razdvoj slučajeve po znaku $x$

Domen se poklapa sa dva slučaja:

Slučaj A: $x\ge 2$, znači $x>0$.
Slučaj B: $x\le -3$, znači $x<0$.

U oba slučaja možeš podeliti sa $x$, ali pazi:

• U slučaju A, smer nejednakosti ostaje isti.
• U slučaju B, smer se obrće.

Ovo je tačka na kojoj većina izgubi poene.

Korak 4: Reši svaki slučaj posebno

Slučaj A: $x\ge 2$

Delimo sa $x>0$:

Za $x=2$ obe strane su nula, nejednakost je stroga, pa $x=2$ otpada.

Za $x>2$, desna strana je pozitivna, leva je takođe ne-negativna. Tek sada smemo kvadrirati:

Diskriminanta: $17^2-4\cdot 3\cdot 22=289-264=25$

Koreni: $x=\frac{17\pm 5}{6}$, dakle $x=2$ i $x=\frac{11}{3}$

Parabola $3x^2-17x+22$ otvorena je nagore, pa je negativna između svojih nula:

Slučaj B: $x\le -3$

Delimo sa $x<0$, smer se obrće:

Za $x\le -3$ važi $2(x-2)\le -10<0$. Desna strana je negativna. Leva strana je koren, uvek $\ge 0$.

Ne-negativan broj ne može biti manji od negativnog broja. Nema rešenja u ovom slučaju.

Korak 5: Sastavi rešenje i izračunaj razliku

Spajanjem oba slučaja dobija se:

Razlika najvećeg i najmanjeg rešenja:

Tačan odgovor: D

Zašto ovaj zadatak razdvaja kandidate

Ovaj tip zadatka ne testira koliko brzo umeš da kvadriraš. Testira da li znaš kada smeš da kvadriraš i kada smer nejednakosti ostaje isti.

Studenti koji zadatak počnu tako što odmah kvadriraju obe strane dobiju polinomsku nejednačinu četvrtog stepena. Njen skup rešenja se poklapa sa tačnim skupom u ovom konkretnom primeru, pa srećan student dobije $\frac{5}{3}$ i bez razmišljanja o slučaju B. Ali na sličnom zadatku iz druge godine, tačno to preskakanje donosi pogrešan odgovor, jer se u slučaju B pojave rešenja koja student ili propusti ili lažno doda.

Zato se ovaj tip uči kao postupak, ne kao trik.

Šta vežbati dalje

Ako ovaj tip želiš da automatizuješ, pokušaj ove varijacije (sve su iz prethodnih FON prijemnih):

1. $x\sqrt{x^2-5x+6}>x^2-4$
2. $(x-1)\sqrt{x^2-4}\le x^2-3x+2$
3. $x\sqrt{9-x^2}\ge 3x-x^2$

Za svaku od njih, pre računa, zapitaj se:

• Koji je domen?
• Kog znaka je faktor ispred korena?
• Kog znaka je desna strana u svakom slučaju?
• Da li su obe strane istog znaka pre nego što kvadriram?

Ova četiri pitanja ti čuvaju tri poena po zadatku.