Kombinatorika i verovatnoća za FON i ETF prijemni: Tipovi zadataka i greške
pre 2 dana - Andrej
Kombinatorika i verovatnoća su deo matematičkog gradiva na prijemnom ispitu na FON-u i ETF-u. Zadaci iz ove oblasti zahtevaju drugačiji tip razmišljanja nego algebarske jednačine ili geometrija: nema jednog standardnog postupka koji primenjuješ mehanički, nego je ključan tačan opis situacije pre nego što kreneš sa računanjem.
Kombinatorika: Šta izlazi
Permutacije. Raspoređivanje n elemenata na n mesta. Broj rasporeda je n! (n faktorijel). Zadaci variraju: ponekad se radi o raspoređivanju svih elemenata, ponekad o permutacijama sa ponavljanjem (elementi se ponavljaju, broj rasporeda se deli sa faktoríjelima broja ponavljanja).
Varijacije. Biranje k elemenata iz n elemenata pri čemu redosled bitan. Formula: V(n,k) = n! / (n-k)!. Razlika od permutacije: uzimamo samo k od n, ne sve.
Kombinacije. Biranje k elemenata iz n elemenata pri čemu redosled nije bitan. Formula: C(n,k) = n! / (k! · (n-k)!). Ovo je najčešće korišćena kombinatorička formula na ispitu.
Pravilo zbira i pravila množenja. Pravilo zbira: ako se nešto može desiti na A načina ili B načina (međusobno isključivo), ukupan broj mogućnosti je A + B. Pravilo množenja: ako se nešto dešava u koracima, gde prvi korak ima A mogućnosti, drugi B, ukupan broj je A × B. Ovo su osnove, ali se greške u primeni ova dva pravila dešavaju i iskusnim kandidatima.
Kombinatorički identiteti. Binomni koeficijenti, Paskalov trougao, binomna formula. Pojavljuju se retko ali redovno.
Verovatnoća: Šta izlazi
Klasična definicija verovatnoće. P(A) = broj povoljnih ishoda / ukupan broj ishoda. Ovo zahteva tačno prebrojavanje oba skupa, gde kombinatorika dolazi do izražaja.
Komplementarni događaj. P(A') = 1 - P(A). Korisno kada je lakše prebrojati nepovoljan ishod nego povoljni.
Nezavisni događaji. P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Dva događaja su nezavisna ako ishod jednog ne utiče na verovatnoću drugog.
Uslovna verovatnoća. P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). Verovatnoća da se A desi, pod uslovom da se B desilo. Ovo je oblast gde se pravi više grešaka jer zahteva pažljivo čitanje teksta zadatka.
Verovatnoća zbira događaja. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Greška je zaboravljanje da se oduzme verovatnoća preseka.
Najčešće greške
Zamena kombinacije i varijacije. Pitanje je da li redosled bitan ili nije. Ako biramo tim od 3 igrača iz grupe od 10, redosled nije bitan, koristimo kombinacije. Ako biramo ko će biti kapiten, podkapiten i treci, redosled jeste bitan, koristimo varijacije. Greška u identifikaciji ovog koraka znači pogrešnu formulu i pogrešan odgovor.
Pogrešna primena pravila zbira i množenja. "Ili" gotovo uvek znači zbir, "i" gotovo uvek znači množenje, ali formulacija u zadatku ne mora biti doslovna. Treba razumeti strukturu situacije, ne pratiti ključne reči.
Nepažljivo čitanje uslovne verovatnoće. "Verovatnoća da je karta as, ako znamo da je crvena" nije isto što i "verovatnoća da je karta crvena, ako znamo da je as". Ove dve verovatnoće su različite, a formulacija u zadatku može biti zamaskirana.
Grešanje kod uzorkovanja bez vraćanja. Ako se izvuče karta i ne vrati u špil, ukupan broj ishoda u sledećem koraku je manji. Ovo utiče na svaki naredni korak. Kandidati koji modeluju svaki korak nezavisno dolaze do pogrešnog odgovora.
Faktorijel velikih brojeva. Faktorijel raste brzo. 10! = 3.628.800. Na ispitu je redovno potrebno simplifikovati razlomak pre nego što izračunaš, jer direktno računanje nije moguće bez kalkulatora. Simplifikacija (kraćenje faktorijela) je veština koja se mora uvežbati.
Pristup zadacima iz kombinatorike i verovatnoće
Pre nego što primenite bilo koju formulu, pažljivo opišite situaciju:
Šta se bira ili raspoređuje?
Da li redosled bitan ili nije?
Da li postoje ograničenja (određeni elementi moraju biti zajedno, određeni ne smeju)?
Da li je uzorkovanje sa ili bez vraćanja?
Da li se radi o jednom koraku ili o više koraka?
Ovo je korak koji se pod pritiskom ispita preskače. Kandidat vidi "kombinatorika", odmah poseže za formulom, i završi sa pogrešnim modelom. Formula je tačna, ali primenjena na pogrešan opis situacije.
Ispravni redosled: najpre razumi situaciju, pa onda primeni formulu.
Zašto ova oblast posebno važi za FON
FON prijemni ima nešto više zadataka iz kombinatorike i verovatnoće nego ETF, verovatno zbog prirode studijskog programa (menadžment, statistika, operaciona istraživanja). To znači da je ova oblast na FON ispitu potencijalno visok izvor poena ako je dobro pokrivena, ali i visok izvor gubitaka ako nije.
Na ETF-u je kombinatorika prisutna ali manje dominantna u odnosu na algebru i fiziku.
Kombinatorika i verovatnoća nisu oblast gde se uči napamet, nego oblast gde se uči razmišljanje u koracima. Što pre počneš da vežbaš zadatke, brže ćeš prepoznati tipove situacija i znati koji model da primeniš.
Na MojPrijemni kursu za FON i ETF, kombinatorika i verovatnoća su pokrivene sa zadacima u formatu ispita i objašnjenjima svakog koraka modela. Demo verzija je besplatna.
