Najteži tip zadatka na ETF prijemnom: eksponencijalna nejednačina sa promenljivom bazom

ETF prijemni ima specifičnu kategoriju zadataka u kojoj se spajaju dve oblasti: trigonometrija i eksponencijalne nejednačine. Kandidat koji zna svaku oblast posebno, ali ih nije vežbao zajedno, izgubi šest poena u manje od dva minuta.

Zadatak sa ETF prijemnog 2025. godine:

Skup svih realnih rešenja nejednačine

(2 sin x)^{s i n x - s i n 2 x} \geq 1

na intervalu $(0, π)$ je:

A) $(0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{π}{3}, π)$

B) $(0, \frac{π}{6}) \cup [\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$

C) $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$

D) $(0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}]$

E) $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$

Primeti da se svi ponuđeni odgovori razlikuju samo po tome da li je granica uključena ili nije. Autor zadatka je svesno testirao jednu konkretnu grešku.

Gde većina pada

Najčešća greška je automatizam iz srednje škole. Kandidat vidi $a^{b} \geq 1$ i napiše:

b \geq 0

Bez razmišljanja o tome kolika je baza.

Ovo važi samo kad je $a > 1$ . Kad je $0 < a < 1$ , nejednakost se okreće: $a^{b} \geq 1 \Leftrightarrow b \leq 0$ . A kad je $a = 1$ , nejednakost važi za svako $b$ .

Zadatak je napravljen tako da baza $2 sin x$ prolazi kroz sve tri mogućnosti na intervalu $(0, π)$ . Ako zaboraviš na dva od tri slučaja, dobiješ tačno jedan od pogrešnih odgovora iz liste.

Evo čistog postupka, u pet koraka.

Korak 1: Proveri domen baze

Baza mora biti pozitivna da bi izraz $a^{b}$ imao smisla za realan eksponent.

Na intervalu $(0, π)$ , važi $sin x > 0$ , pa je $2 sin x > 0$ . Domen je ceo interval $(0, π)$ .

Ovde nema oduzimanja intervala, ali je važno da kandidat zna zašto nema. Bez $sin x > 0$ , ceo postupak bi otpao.

Korak 2: Razloži eksponent

b = sin x - sin 2 x = sin x - 2 sin x cos x = sin x \cdot (1 - 2 cos x)

Na $(0, π), sin x > 0$ , pa znak od $b$ zavisi samo od znaka izraza $(1 - 2 cos x)$ .

1 - 2 cos x \geq 0 ⟺ cos x \leq \frac{1}{2} ⟺ x \geq \frac{π}{3}

Znači:

$b \geq 0$ za $x \in [\frac{π}{3}, π)$
$b \leq 0$ za $x \in (0, \frac{π}{3}]$
$b = 0$ tačno za $x = \frac{π}{3}$

Korak 3: Razdvoj slučajeve po bazi

Baza $a = 2 sin x$ prolazi kroz tri režima na $(0, π)$ :

Slučaj 1: $a = 1$ , tj. $sin x = \frac{1}{2}$ . Rešenja: $x = \frac{π}{6}$ i $x = \frac{5 π}{6}$ .
U ovom slučaju $a^{b} = 1^{b} = 1 \geq 1$ za svako $b$ . Obe tačke ulaze u rešenje.

Slučaj 2: $a > 1$ , tj. $sin x > \frac{1}{2}$ , što daje $x \in (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ .
Ovde $a^{b} \geq 1 ⟺ b \geq 0$ .

Slučaj 3: $0 < a < 1$ , tj. $0 < sin x < \frac{1}{2}$ , što daje $x \in (0, \frac{π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, π)$ .
Ovde $a^{b} \geq 1 ⟺ b \leq 0$ .

Korak 4: Pronađi presek u svakom slučaju

Slučaj 2. $x \in (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ i $b \geq 0$ , što znači $x \in [\frac{π}{3}, π)$ .

Presek:

[\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})

Slučaj 3. $x \in (0, \frac{π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, π)$ i $b \leq 0$ , što znači $x \in (0, \frac{π}{3}]$ .

Presek prvog dela sa ovim: $(0, \frac{π}{6})$ .
Presek drugog dela: prazan, jer $\frac{5 π}{6} > \frac{π}{3}$ .

Korak 5: Spoj sve slučajeve

Iz slučaja 3: $(0, \frac{π}{6})$
Iz slučaja 1: ${\frac{π}{6}}$ i ${\frac{5 π}{6}}$
Iz slučaja 2: $[\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$

Spajanjem:

x \in (0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}]

Tačan odgovor: D.

Zašto svaki pogrešan odgovor ima svoje "ciljne" kandidate

Ponuđeni odgovori nisu slučajni. Svaki od njih odgovara jednoj konkretnoj grešci:

A dobiješ ako zaboraviš slučaj 3 i pretpostaviš da baza uvek ostaje iznad 1.
B dobiješ ako pogrešno tretiraš granice kod $\frac{π}{6}$ (zaboraviš da je to slučaj $a = 1$ koji uvek važi).
C dobiješ ako rešavaš samo $a > 1$ slučaj.
E dobiješ ako uopšte ne razdvojiš eksponent i gledaš samo gde je $sin x \geq \frac{1}{2}$ .

Tek D prolazi kroz sva tri slučaja baze i kroz precizno razdvajanje znaka eksponenta.

Šta vežbati dalje

Tip "promenljiva baza, promenljiv eksponent" je standardan na ETF prijemnom. Vežbaj sličnu logiku na ovim zadacima:

1. $(cos x)^{c o s 2 x} \leq 1$ na $(0, \frac{π}{2})$
2. $(2 - x)^{x^{2} - 4} \geq 1$
3. $(\frac{1}{2})^{x^{2} - 3 x + 2} < 1$ (kao trening, samo da utvrdiš mehanizam za bazu manju od 1)

Za svaki zadatak pre računa odgovori na četiri pitanja:

Gde je baza veća od 1?
Gde je jednaka 1?
Gde je između 0 i 1?
Koji se slučajevi moraju preseči sa znakom eksponenta?

Kad ova četiri pitanja postanu automatska, ceo tip ti pada za manje od dva minuta.

Zadatak sa ETF prijemnog 2025. godine:

Skup svih realnih rešenja nejednačine

(2 sin x)^{s i n x - s i n 2 x} \geq 1

Primeti da se svi ponuđeni odgovori razlikuju samo po tome da li je granica uključena ili nije. Autor zadatka je svesno testirao jednu konkretnu grešku.

Gde većina pada

Najčešća greška je automatizam iz srednje škole. Kandidat vidi $a^{b} \geq 1$ i napiše:

b \geq 0

Bez razmišljanja o tome kolika je baza.

Ovo važi samo kad je $a > 1$ . Kad je $0 < a < 1$ , nejednakost se okreće: $a^{b} \geq 1 \Leftrightarrow b \leq 0$ . A kad je $a = 1$ , nejednakost važi za svako $b$ .

Zadatak je napravljen tako da baza $2 sin x$ prolazi kroz sve tri mogućnosti na intervalu $(0, π)$ . Ako zaboraviš na dva od tri slučaja, dobiješ tačno jedan od pogrešnih odgovora iz liste.

Evo čistog postupka, u pet koraka.

Korak 1: Proveri domen baze

Baza mora biti pozitivna da bi izraz $a^{b}$ imao smisla za realan eksponent.

Na intervalu $(0, π)$ , važi $sin x > 0$ , pa je $2 sin x > 0$ . Domen je ceo interval $(0, π)$ .

Ovde nema oduzimanja intervala, ali je važno da kandidat zna zašto nema. Bez $sin x > 0$ , ceo postupak bi otpao.

Korak 2: Razloži eksponent

b = sin x - sin 2 x = sin x - 2 sin x cos x = sin x \cdot (1 - 2 cos x)

Na $(0, π), sin x > 0$ , pa znak od $b$ zavisi samo od znaka izraza $(1 - 2 cos x)$ .

1 - 2 cos x \geq 0 ⟺ cos x \leq \frac{1}{2} ⟺ x \geq \frac{π}{3}

Znači:

$b \geq 0$ za $x \in [\frac{π}{3}, π)$
$b \leq 0$ za $x \in (0, \frac{π}{3}]$
$b = 0$ tačno za $x = \frac{π}{3}$

Korak 3: Razdvoj slučajeve po bazi

Baza $a = 2 sin x$ prolazi kroz tri režima na $(0, π)$ :

Slučaj 1: $a = 1$ , tj. $sin x = \frac{1}{2}$ . Rešenja: $x = \frac{π}{6}$ i $x = \frac{5 π}{6}$ .
U ovom slučaju $a^{b} = 1^{b} = 1 \geq 1$ za svako $b$ . Obe tačke ulaze u rešenje.

Slučaj 2: $a > 1$ , tj. $sin x > \frac{1}{2}$ , što daje $x \in (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ .
Ovde $a^{b} \geq 1 ⟺ b \geq 0$ .

Slučaj 3: $0 < a < 1$ , tj. $0 < sin x < \frac{1}{2}$ , što daje $x \in (0, \frac{π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, π)$ .
Ovde $a^{b} \geq 1 ⟺ b \leq 0$ .

Korak 4: Pronađi presek u svakom slučaju

Slučaj 2. $x \in (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ i $b \geq 0$ , što znači $x \in [\frac{π}{3}, π)$ .

Presek:

[\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})

Slučaj 3. $x \in (0, \frac{π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, π)$ i $b \leq 0$ , što znači $x \in (0, \frac{π}{3}]$ .

Presek prvog dela sa ovim: $(0, \frac{π}{6})$ .
Presek drugog dela: prazan, jer $\frac{5 π}{6} > \frac{π}{3}$ .

Korak 5: Spoj sve slučajeve

Iz slučaja 3: $(0, \frac{π}{6})$
Iz slučaja 1: ${\frac{π}{6}}$ i ${\frac{5 π}{6}}$
Iz slučaja 2: $[\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$

Spajanjem:

x \in (0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}]

Tačan odgovor: D.

Zašto svaki pogrešan odgovor ima svoje "ciljne" kandidate

Ponuđeni odgovori nisu slučajni. Svaki od njih odgovara jednoj konkretnoj grešci:

A dobiješ ako zaboraviš slučaj 3 i pretpostaviš da baza uvek ostaje iznad 1.
B dobiješ ako pogrešno tretiraš granice kod $\frac{π}{6}$ (zaboraviš da je to slučaj $a = 1$ koji uvek važi).
C dobiješ ako rešavaš samo $a > 1$ slučaj.
E dobiješ ako uopšte ne razdvojiš eksponent i gledaš samo gde je $sin x \geq \frac{1}{2}$ .

Tek D prolazi kroz sva tri slučaja baze i kroz precizno razdvajanje znaka eksponenta.

Šta vežbati dalje

Tip "promenljiva baza, promenljiv eksponent" je standardan na ETF prijemnom. Vežbaj sličnu logiku na ovim zadacima:

1. $(cos x)^{c o s 2 x} \leq 1$ na $(0, \frac{π}{2})$
2. $(2 - x)^{x^{2} - 4} \geq 1$
3. $(\frac{1}{2})^{x^{2} - 3 x + 2} < 1$ (kao trening, samo da utvrdiš mehanizam za bazu manju od 1)

Za svaki zadatak pre računa odgovori na četiri pitanja:

Gde je baza veća od 1?
Gde je jednaka 1?
Gde je između 0 i 1?
Koji se slučajevi moraju preseči sa znakom eksponenta?

Kad ova četiri pitanja postanu automatska, ceo tip ti pada za manje od dva minuta.

Najteži tip zadatka na ETF prijemnom: eksponencijalna nejednačina sa promenljivom bazom

Gde većina pada

Korak 1: Proveri domen baze

Korak 2: Razloži eksponent

Korak 3: Razdvoj slučajeve po bazi

Korak 4: Pronađi presek u svakom slučaju

Korak 5: Spoj sve slučajeve

Zašto svaki pogrešan odgovor ima svoje "ciljne" kandidate

Šta vežbati dalje

Pročitajte više

Najteži tip zadatka na ETF prijemnom: eksponencijalna nejednačina sa promenljivom bazom

Gde većina pada

Korak 1: Proveri domen baze

Korak 2: Razloži eksponent

Korak 3: Razdvoj slučajeve po bazi

Korak 4: Pronađi presek u svakom slučaju

Korak 5: Spoj sve slučajeve

Zašto svaki pogrešan odgovor ima svoje "ciljne" kandidate

Šta vežbati dalje

Pročitajte više